Comportamiento complejo a partir de sistemas sencillos

El Juego de Conway (también conocido como Vida) es un ejemplo de autómata celular que ilustra de manera didáctica como sistemas sencillos pueden encerrar comportamientos complejos. Lo inventó el matemático John Horton Conway en 1970.

El "universo" del juego es un tablero cuadriculado en el que las celdas llenas representan células vivas.

En cada paso de tiempo o generación, el estado del tablero cambia atendiendo a las siguientes reglas:

1. Supervivencia: cada célula con dos o tres vecinas sobrevive en la siguiente generación.
2. Muerte: cada célula con cuatro o más vecinas muere por sobrepoblación, y cada célula con una o ninguna vecina muere por aislamiento.
3. Nacimiento: cada célula vacía con exactamente tres células vecinas es una célula de nacencia, donde se origina una célula en la generación siguiente.

Según del programador Bill Gosper:

"... al principio no estaba claro que las cosas que podían ocurrir en este universo eran casi tan complicadas como las que podían ocurrir en nuestro universo. Y posteriormente, por una secuencia de pequeños descubrimientos, avanzando por grados, se hizo claro que cualquier cosa que podamos imaginar puede ocurrir en el mundo de Vida."

Si os apetece jugar un poco con Vida, podéis descargaros aquí una versión del juego que escribí hace mucho, mucho tiempo...

Bibliografía: "Vida simulada en el ordenador" (Claus Emmeche).

Dinámica de poblaciones

La simulación de sistemas tiene una gran campo de aplicación. Como primer ejemplo de ello veremos el sistema Volterra-Lotka. Es un sencillo modelo matemático para la dinámica de poblaciones de especies en competencia.

Las ecuaciones diferenciales que lo rigen son:

x1' = A · x1 - B · x1 · x2
x2' = - C · x2 + D · x1 · x2

Suposiciones:

• La población de depredadores viene dada por la función dependiente del tiempo x2(t).
• Análogamente la de presas viene dada por x1(t).
• El alimento disponible para la presa es ilimitado, por tanto la tasa de natalidad de la presa debe seguir la ley de Malthus o exponencial.
  
• La tasa de mortalidad de la presa depende del número de interacciones entre presas y depredadores.
• Las presas x1 son el único alimento de los depredadores x2. Por ello la tasa de natalidad de los depredadores depende de las interacciones con las presas.
• Cuando excasee el alimento, los depredadores morirán en número proporcional a su población.

Para determinados valores de las constantes y de las condiciones iniciales, el sistema presenta un comportamiento periódico (ver figura).

Por ejemplo para A = 2, B = 2, C = 1 y D = 1; con condiciones iniciales x1(0) = 1 y x2(0) = 3.

De qué va este blog

El propósito de este blog es hablar sobre modelado y simulación de sistemas dinámicos.

¡Hola Mundo!

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